函数Y=x+b/x(b>0).1.求单调区间，并证明其在单调区间上的单调性

x1,x2∈[√b,+∞) x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+b/x1)-(x2+b/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)b/(x1x2)
=(x1-x2)(1-b/(x1x2))
[x1>x2 x1-x2>0
x1x2>(√b)^2=b b/(x1x2)<1 1-b/(x1x2)>0]
>0
所以f(x)在[√b,+∞)上单调递增
x1,x2∈(0,√b] x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+b/x1)-(x2+b/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)b/(x1x2)
=(x1-x2)(1-b/(x1x2))
[x1>x2 x1-x2>0
x1x2<(√b)^2=b b/(x1x2)>1 1-b/(x1x2)<0]
>0
所以f(x)在(0,√b]上单调递减

又因为f(x)是奇函数
所以f(x)在x∈(0,√b]时单调递减
f(x)在x∈[√b,+∞)时单调递增
f(x)在x∈[-√b,0)上单调递减
f(x)在x∈(-∞,-√b]上单调递增
b=8时
x>0时
x=√8 最小值√8 +√8 =2√8 =4√2
无最大值
值域[4√2,+∞)
x<0时
x=-√8 最大值-√8 -√8 =-2√8 =-4√2
无最小值
值域(-∞,-4√2]
所以值域(-∞,-4√2]∪[4√2,+∞)

上面的写的不完全～
补充上面的一点：这个是双勾函数，这个函数也是奇函数
则满足F(-X)=-F(X)
所以：
f(x)在[√b,+∞)上单调递增
同时也在(-∞,-√b] 上递增
f(x)在(0,√b]上单调递减
同时也在[-√b,0) 上递减
这个是双勾函数的定理，可以直接拿来用的哦‘