抛物线的切线

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/11 02:59:35
过抛物线 上一点 作抛物线的切线 过点A且垂直于 的直线交抛物线于另一点B，点C是线段AB的中点，当a变化时，
（1）求点B到x轴的距离的最小值；
（2）点C和点B到x轴的距离能否同时取得最小值？如果能，求出它们取得最小值时a的值；如果不能，说明理由.

由y=x^2得y'=2x过A的切线斜率为k=2a,AB斜率为-1/2a
切线方程y-a^2=2a(x-a),AB方程y-a^2=-1/2a(x-a),代人y=x^2得
x^2+(1/2a)x-1/2-a^2=0由此得点B的横坐标为（-1/2a-a),从而点B的纵坐标为（-1/2a-a)^2,点C的纵坐标为[（-1/2a-a)^2+a^2]/2
yB=（-1/2a-a)^2=a^2+1/(4a^2)+1>=2,当且仅当a^2=1/2
yC=[（-1/2a-a)^2+a^2]/2=a^2+1/(8a^2)+1>=1/2+根号2/2,当且仅当a^2=根号2/4
所以1）点B到x轴的距离的最小值为2；
（2）点C和点B到x轴的距离不能同时取得最小值。