求证：两个相差为1的正整数互质。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 05:00:03

反证：
设它们是x和x+1，最大公约数为a（a大于1），x=am，x+1=an，x+1-x=an-am，
则1=a（n-m）n和m都是整数，n-m应为整数，但a大于1，1/a肯定不是整数，与n-m是整数矛盾。

设两个相差为1的正整数分别为n,n+1.(n大于等于1)
当n=1时,n+1=2,显然2与1互质.(2是质数)
当n大于1时,我们用反证法:设两个相差为1的正整数n,n+1不互质,(n+1)/n=m(其中m,n均为大于1的整数),则有mn=n+1,整理得(m-1)n=1,
而m-1大于等于1,n大于1,方程(m-1)n=1无解.
假设不成立,命题得证.