高二，圆，明早之前，急需

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 16:24:30
已知圆C：x^2+y^2+2ax-4ay+9/2a^2=0（a>0）
问：是否存在这样的直线，不论a取任何正实数，这条直线总与圆C相切？若存在，求出方程，若不存在，说明理由。
好的话加分
瞑粼 的对比系数没看懂，左右两边a的幂都不同，一个一次，一个二次，怎么能用待定系数法呢？

x^2+y^2+2ax-4ay+9/2a^2=0
(x+a)^2+(y-2a)^2=1/2a^2
圆心(-a,2a) 半径a/√2

设直线y=kx+b
y-kx-b=0

不论a取任何正实数，这条直线总与圆C相切
即直线到圆心的距离恒为半径
|2a-k(-a)-b|/√(1+k^2)=a/√2
|(2+k)a-b|=a*√[(1+k^2)/2]
两边平方得
(2+k)^2a^2-2ab(2+k)+b^2=a^2(1+k^2)/4
此式对任意a恒成立
对比系数得
(2+k)^2=(1+k^2)/4
-2b(2+k)=0
b^2=0
解得k=-1/3 b=0 or k=-5 b=0
所以y=-1/3x or y=-5x