向量a关于向量b的对称向量

设c为 向量a关于向量b的对称向量。
则，
1，如果a,b平行，[共线]。c = a.

以下假设 a,b不平行。因此，向量a,b均不为零。
记 u = b/ (|b|)，其中 |b| 为 向量 b的长度[模]。 u 为 与b向量同向的单位向量。

2，设向量a在向量b上的投影为向量d，则
d = <a,u>u.
其中，<a,u> 为向量a和向量u之间的内积。
设向量 X = [x1, x2, ..., xn],
向量 Y = [y1, y2, ..., yn].
其中，n为向量X和Y的维数。
则，
<X,Y> = (x1*y1) + (x2*y2) + ... + (xn*yn)

2个向量的内积 是一个数。
2个向量的内积 = 2个向量的各个对应的分量之积的和。

3，c = 2d - a
= 2<a,u>u - a
= 2<a, b/|b|>(b/|b|) - a

举个例子，

求向量a=[1，2]关于向量b=[3,4]的对称向量。
1，|b| = (3^2 + 4^2)^(1/2) = 5
2, u = b/|b| = [3/5, 4/5]
3, <a,u> = 1*3/5 + 2*4/5 = 11/5
4, d = <a,u>u = 11/5[3/5, 4/5] = [33/25, 44/25]
5, c = 2d - a
= 2[33/25, 44/25] - [1, 2]
= [41/25, 38/25]

向量a=[1，2]关于向量b=[3,4]的对称向量为 [41/25, 38/25]