抛物线的顶点为(1,2),已知它与X轴相交于A,B两点,且AB=4,求解析式

y=1/2 X^2+X+3/2
画个图，看出开口向下，且过（1，2），
抛物线与X轴交点的中点为（1，0），且AB=4,所以A(-1,0)B(3,0)
所以设方程y=aX^2+bX+C
得出a=-1/2, b=1 c=3/2

解：抛物线顶点在对称轴上，所以，抛物线对称轴x=-b/2a=1。又AB=4，也就是说抛物线与x轴的交点A、B是相对于x=1对称的，故A(-1,0)，B(3,0)。

抛物线与x轴相交构成一一元二次方程：y=ax²+bx+c=0，两根之积x1·x2=c/a=-1×3=-3，两根之和x1+x2=-b/a=-1+3=2。

所以c=-3a，b=-2a，将顶点代入抛物线有2=1²×a+1×b+c=a+b+c。【为什么代顶点而不代A、B？是因为c=-3a，b=-2a实际上就是A、B两点得来，若再带A、B，则方程联立进入循环，三元一次方程组需要3个方程才能求解，代A、B就会少一个方程使得方程组无法求解。】联立解之：a=-0.5，b=1，c=1.5，即抛物线解析式为：y=-0.5x²+x+1.5