设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),求D到平面ABC的距离

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 17:03:33
请写出具体过程！谢谢！！！！

设平面ABC方程为Ax+By+Cz+D=0
代入A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7)
A*2+B*3+C*1+D=0
A*4+B*1+C*2+D=0
A*6+By*3+C*7+D=0
可解得A=-3D/20,B=-D/5,C=-D/10
所以方程为
3x+4y+2z-20=0
则点D(-5,-4,8)的距离为：
|3*（-5)+4*（-4)+2*8-20|/根号（3^2+4^2+2^2）
=35/根号（29）

向量AB=（2，-2，1），AC=(4,0,6)假设面ABC上点E使得DE垂直于面ABC
设DE方向上一个向量a=（x，y，z）那么2x-2y+z=0 令x=3，则y=4，z=-2
4x+6z=0
AD=（-7，-7，7）D到平面ABC的距离就是AD向量在a上的射影
所以距离=|AD乘a|除以a的模 即63除以根29

经我证明知，A、B、C的确共面。解：向量AB＝(2,－2,1)，向量AC＝(4,0,6)，向量DA＝(7,7,－7)。再设面ABC的一个法向量为向量m＝(a,b,c)，则有2a－2b＋c＝0；4a＋6c＝0。随意令a＝－3，可求得c＝2，b＝－2。则向量m＝(－3,－2,2)。则点D到面ABC的距离为|向量DA＊向量m|/向量m的模＝(49倍根号17)/17