点P在直径AB=1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT=1，角PAB=a，问a为何值时四边形ABPT面积最大？

连接TB 设半圆的圆心为O 连接OP
四边形ABPT面积=S△PAB+S△PTB
因为PT是半圆的切线 那么OP⊥PT
PT=1 OP为半圆的半径是定值
那么△PTB为定值=1/2*1*r
要使四边形ABPT面积最大 即△PAB的面积为最大
△PAB的面积=1/2*AB*h
AB是定值 那么有h最大时△PAB的面积为最大
即点P到AB的距离最大
所以当OP⊥AB时 OP有最大值 即半圆的半径
那么就有PAB=a=45°

解：连结AP,AB为直径，则∠APB=90°
设圆心为O,连结OP,则OA=OP，所以∠PAO=∠APO=a
PT是圆的切线，则OP⊥PT,所以∠APT=90°-a
AB=1,PT=1
所以，AP=ABcosa=1*cosa=cosa
S△ABP=1/2*AB*APsina=sinacosa/2=sin2a/4
S△APT=1/2*PA*PTsin（90°-a）=cos²a/2=2cos²a/4=（cos2a+1）/4
所以
S四边形ABPT
=S△ABP+S△APT
=sin2a/4+（cos2a+1）/4
=(sin2a+cos2a+1)/4
=[√2*sin（2a+45°）+1]/4
≤（1+√2)/4
当且仅当sin（2a+45°）=1，2a+45°=90°，a=22.5°时取等号
所以，当a=22.5°，四边形ABPT面积最大，最大值为（1+√2)/4

楼上的，都错了

S 四边形ABPT = S △APT + S △APB
=1/2*cosa*1*sin(pi/2-a)+1/2*cosa*sina
=(1+cos2a+sin2a)/4
=(根号2sin(2a+pi/4)+1)/4
2a+pi/4=pi/2时取最大值
a=pi/8

45度