高三数学（极坐标）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 04:50:24
椭圆的中心为O，P、Q都在椭圆上，若角POQ=90°，求证：1/(|OP|^2)+1/(|OQ|^2)为定值

证明：设椭圆的方程为 ρ=ep/(1-eCOSα)
不妨设P(ρ₁，θ),Q(ρ₂,θ+90°)
则 |OP|=ρ₁=ep/(1-ecosθ),|OQ|=ρ₂=ep/[1-ecos(θ+90°)]=ep/(1+esinθ)
1/(|OP|^2)+1/(|OQ|^2)=(1-ecosθ)²/(e²p²)+(1+esinθ)²/(e²p²)
=(2+e²)/(e²p²)
因为椭圆中 e,p为定值，所以 (2+e²)/(e²p²)为定值
即 1/(|OP|^2)+1/(|OQ|^2)为定值