已知直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)

可以知道该直线过定点（3，0），是椭圆的一个焦点。又知道椭圆上的点到该点的最大距离是8，那么可以确定椭圆与x轴的焦点为（5，0）和（-5，0）。从而可以确定椭圆的方程。
可以知道m，n满足直线mx+ny=1和椭圆C。列一方程组。
圆的中心到直线mx+ny=1的距离d=1/根号（m方+n方）
根据方程组验证d恒大于等于1.
这是基本思路。具体步骤自己写吧

(1).由题意得：直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0
整理得：（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0
则直线过x-2y-3=0和4x+3y-12=0的交点F（3，0）
直线过点（3，0）
所以椭圆C的一个焦点F为（3，0）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
又因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8
所以a+c=8
又因为c=3
所以a=5 b=4
椭圆方程为x^2/25+y^2/16=1
(2).由圆的中心（0，0）到直线mx+ny=1的距离d=1/根号（m^2+n^2），
把P(m,n)代入x²/25+y²/16=1
得m²/25+n²/16=1，
则m²+n²>1,
所以d<1,即直线l与圆O恒相交。
点P(m,n)在椭圆C上运动时，m²+n²的最大值是25最小值是16，
则d的范围是[1/4,1/5],
由半弦长、半径、圆心距的关系
得弦长的取值范围为[根号15/2,4倍根号6/5]

(1).由题意得：直线过点（3，0）
所以椭圆C的一个焦点F为（3，0）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
又因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8
所以a+c=8
又因为c=3
所以a=5 b=4
椭圆方程为x^2/25+y^2/16=1
(2).因为点P(m,n)在椭圆C上