大家帮我看看这个句子有没有错误，谢谢了

伴随是这样用的，是一种状态
I walked into the classroom, carrying a bag under my arms.

to improve引出目的状语

我明白你的意思，你是觉得improving 在这里 和 to improve 的作用一样,都是 非谓语形式 且表主动.
理解本身没有错，但请记住:
the way to do sth 是地道标准的表达，用improving 就不符合英语管用表达了，毕竟我们不能根据语法自己创造英文表达，否则只会陷入中式英语的怪圈。
类似一例： the key to the door/the answer to the question中用介词to 而不用of，亦是此理。
一点学英语的心得，希望对你有所帮助。

to improve 表目的
improving 表伴随

to improve做后置定语，来修饰the best way

固定搭配，习惯用法。best way to do。

the best way to do sth.