双曲线问题，好难哦

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 09:13:21
已知曲线x²/a² - y²/b² =1(a>0,b>0)的离心率e= (2√3)/3,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点，原点O到l的距离是√3/2 。 （1）求双曲线的方程，（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若 (向量OM)·（向量ON)= -23,求直线m的方程
一楼的，教我啊

（1）离心率e=c/a=2√3/3 => c²/a²=4/3 =>b²/a²=c²/a²-1=1/3 ①
直线l斜率为b/a,方程为y=bx/a -b 即bx-ay-ab=0
原点到直线l的距离√3/2=|0+0-ab|/√(a²+b²) ②
①②两式联立解得：a=√3,b=1,c=2
双曲线方程为x²/3 - y² =1
（2）设直线m方程为y=kx-1,与双曲线方程联立得：(3k²-1)x²-6kx+6=0
由韦达定理可知：x1+x2=6k/(3k²-1),x1x2=6/(3k²-1)
y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k²x1x2-k(x1+x2)+1=6k²/(3k²-1)-6k²/(3k²-1) +1=1
(向量OM)·（向量ON)= -23=x1x2+y1y2=6/(3k²-1) +1
解得k=±2
所以直线m方程为y=2x-1或y=-2x-1

你傻啊？！这可以用几百年前的先人的基本公式解出来！

设直线l为x/a+y/b=1化成一般式 再用点到直线距离公式
再通过c^2=a^2+b^2 和 e=c/a 即可求出ab的值
ab出来第二问就很简单了