导数最值的应用问题.拜托大家了.会加分的

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 01:10:33
要造一个上端为半球形，下端为圆拄形的粮仓，其圆柱部分的容积为V，问当圆柱高h和底半径r为何值时，粮仓的表面积最小？
（顺便请问下球形的表面积和体积怎么求？ 还有圆柱的表面积怎么求？）

球形表面积公式：S=4πr²
球形体积公式：V=4/3πr³

V=πr²h…………（1）
S=πr²+2πrh+2πr²=3πr²+2πrh…………（2）
由（1）得，h=V/(πr²)，代入（2）式，得，
S=3πr²+2V/r
dS/dr=6πr-2V/r²
令dS/dr=0，得，
V＝3πr³，r=∛[V/(3π)]
d²S/dr²＝6π+4V/r³＞0，可知，当dS/dr=0即：r=∛[V/(3π)]时，S取得极小值。这个极小值也就是最小值。
h=V/(πr²)＝3r＝3∛[V/(3π)]＝∛(9V/π)
所以，当r=∛[V/(3π)]，h=∛(9V/π)时，粮仓的表面积最小
粮仓的最小表面积为：S(min)=3∛(3πV²)

球面积4§3.14§R^2,体积4/3§3.14R^3,圆柱体2§3.14§r^2+2§3.14§rh,粮仓表面积2§3.14§r^2+2§3.14§rh求导得：2r+h=0