UC知道高分悬赏，求教5道不等式证明题，大牛帮帮忙啊，急死了！
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 22:55:54
(三次根号下2)+2<[三次根号下(a+1)]+[三次根号下(b+1)]+[三次根号下(c+1)]<=三次根号下36
2.若a,b>0,a+b=1,求证：3/2<1/(a^2+1)+1/(b^2+1)<=16/9
3.已知a,b,c,d>0,a+b+c+d=1,求证：6(a^3+b^3+c^3+d^3)>=(a^2+b^2+c^2+d^2)+1/8
4.已知a,b,c>0，a^2+b^2+c^2=1，求证：a/(1-a^2)+b/(1-b^2)+c/(1-c^2)>=(3根号3)/3
5.a,b是实数，证明：|根号下(a^2+1)-根号下(b^2+1)|<=|a-b|
高手来帮忙啊！万分感谢！
1 令f(a,b,c)=(a+1)^(1/3)+(b+1)^(1/3)+(c+1)^(1/3)
F(a,b,c,k)=(a+1)^(1/3)+(b+1)^(1/3)+(c+1)^(1/3)+k(a+b+c-1)
则另四个偏导数分别为0
Fa'=1/3*(a+1)^(-2/3)=0
Fb'=1/3*(b+1)^(-2/3)=0
Fc'=1/3*(c+1)^(-2/3)=0
Fk'=a+b+c-1=0,
且a>0,b>0,c>0
求得a=b=c=1/3, 此为f(a,b,c)的驻点, 经检验, 同时还是极大值点, 极大值f(1/3,1/3,1/3)=36^(1/3)
因为是连续函数, 所以必然有最小值, 且在平面a+b+c=1(a>0,b>0,c>0)的边界上取得
考虑aob平面, 令g(a,b)=(a+1)^(1/3)+(b+1)^(1/3), a+b=1代入g(a,b)并对a求导得((a+1)^(-2/3)-(2-a)^(-2/3))=h(a), 令h(a)=0求得a=3/2, 不在题目范围内, 所以最值在a+b=1(a>0,b>0)的两端处取得
同理boc,coa平面也是.
所以最小值为f(1,0,0)=f(0,1,0)=(0,0,1)=2+2^(1/3), 注意到由于0不在范围内, 所以只能大于,不能等于
所以2+2^(1/3)<f(a,b,c)<36^(1/3)
2, 题型和1一模一样, 同样的方法可以得到最大值在a=b时取道, 最小值是在取向a=1,b=0和a=0,b=1时取道.
如果我没看错中间的式子的话, 你的题目错了, 最右端应该是8/5
3, 将待证明式子变形为6(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^2+b^2+c^2+d^2)>=1/8
则与1同样类型了, 不过此次在a=b=c=d=1/4时取得最小值, 最小值为1/8
4, 还是同样的方法, a=b=c时最小值, 此时a=(1/3)^(1/2), 最