△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,

由于5^2+12^2=13^2，故三角形ABC是直角三角形
设AE、AD、DE分别为x、y、z，要求z的最小值。

S(ADE)=S(ABC)/2=5*12/4=15
又S(ADE)=(1/2)xy(sinA)=(1/2)xy*(5/13)=15
所以xy=78，则x^2+y^2>=2xy=156
于是由余弦定理得：
z^2=x^2+y^2-2xy(cosA)=x^2+y^2-2*78*(12/13)=x^2+y^2-144>=156-144=12
所以z>=2倍根号3，等号成立时有x=y=根号78
即DE最小长度为2倍根号3

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用解析几何的方法求解
设 三角形ABC的BC为 x轴的正半轴，Ac为y轴的负半轴。C点为原点。D（0,y1）,D(x2,y2)
D在AB上
易求AB的直线方程为 y=(-12/5)x+12,即y2=（-12/5)x2+12
而三角形ABC的面积是 30
那么 ADE的面积=x2*(12-y1)/2=15 ,即 y1=12-30/x2

DE^2 = x2^2+(y2-y1)^2= x2^2+[(12/5)x2-30/x2]^2=x2^2+(144/25)x2^2+900/x2^2-144
当x2=150/13时有最小值 12
所以 DE最小值是 根号12

三角形ABC面积是30 即找一个面积15的
一条直线只能分出一个三角形和一个其他图形

大边对大角 所以，DE最小肯定是最小的角对应的线段 即 a=arcsin(5/13)
设小三角形2个长边分别是 b,c
根据面积公式 s=1/2*sin a*(b*c)
(b,c>0) b*c<=(b^2+c^2)/2(当且仅当b=c取等) 要使DE最短 则需要b=c
即 15=5/26*b*c 得到 b*c