设P(X,y)是曲线x2+（y+4）2=4上任意一点，则根号（（x-3）+（y-1))的最大值为

就是求圆上哪个点到（3，1）的距离最远，最远距离就是要求的最大值

最简单的方法是，
先算圆心到（3，1）的距离，在加一个半径，就是最远距离了

原因是，
圆心到（3，1）的距离、半径、圆上的点到（3，1）的距离，构成以三角形
圆上的点到（3，1）的距离 小于 另两边之和 ，大于另两边之差
当重合是可取到最值 （尽管此时不是三角形了）

圆心到（3，1）的距离,即 √[(3-0)^2+(-4-1)^2]=√34，
半径是 2

所以，最大值为 √34 + 2

ps：
如果求最小值就是（ 距离 减 半径 ）的绝对值， 即√34 - 2

根号（（x-3）+（y-1))的最大值不存在,题目有误.

根号（（x-3）^2+（y-1)^2)的最大值是可求的:
就是点(3,1)到x^2+（y+4）^2=4圆周上的点的距离最大值.
也就是点(3,1)与其跟圆心的连线的延长线与圆周的的交点间的距离:
=点(3,1)与圆心(0,-4)的距离+半径
=√(5^2+3^2)+2
=2+√34