证明:同圆或等圆中周长最大的三角形是等边三角形

设R是圆半径,A,B,C是三角形的角,由正弦定理得a/sinA =b/sinB=c/sinC=2R
故a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC),当R确定求周长a+b+c最大,归结为求sinA+sinB+sinC的最大.
设Y=sinA+sinB+sinC,先固定角A,
Y=sinA+sinB+sinC=sinA+2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)
=sinA+2cos(A/2)cos((B-C)/2)
因为A是定值,故只有B=C时,Y才有最大值,同理分别再固定角B,C,则当C=A,A=B时,
Y才有最大值,故A=B=C=60时,Y值最大,即周长a+b+c最大.
也即同圆或等圆中周长最大的三角形是等边三角形.

正弦定理得到
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
所以
a+b+c = 2R(sinA+sinB+sinC)
而
sinA+sinB+sinC
=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+sinC
>=2sin((A+B)/2)+sinC
=2sin(90-C/2)+sinC
=2cos(C/2)+sinC
>=3sin60
=3/2根号3
当且仅当A=B=C=60取等号