UC知道数学--函数题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 00:57:18
已知函数f(x)自变量取值区间为A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间。
（1）求函数f(x)=x^2的形如[n，＋∞）(n∈R)的保值区间；
（2）函数g(x)=|1-1/x|(x＞0)是否存在形如[a,b]（a＜b）的保值区间，若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由。
（1）求函数f(x)=x^2的形如[n，＋∞）(n∈R)的保值区间；
（2）函数g(x)=|1-1/x|(x＞0)是否存在形如[a,b]（a＜b）的保值区间，若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由。
(1)
由于f(x)=x^2≥0
可知n≥0
f(x)=x^2单调递增
最小值f(n)=n^2
保值区间则n=n^2 n=0或1
保值区间[0,+∞)或[1,+∞)
(2)
由于g(x)=|1-1/x|≥0
且定义域x≠0
可知b>a>0
若1≥b>a>0
则g(x)=|1-1/x|=1/x-1
在[a,b]上单调递减
最小值g(b) 最大值g(a)
g(b)=a 1/b-1=a 1-b=ab
g(a)=b 1/a-1=b 1-a=ab
两式相减得a=b与题意不符
若b>a≥1>0
则g(x)=|1-1/x|=1-1/x
在[a,b]上单调递增
最小值g(a) 最大值g(b)
g(a)=a 1/a-1=a 1-a=a^2
g(b)=b 1/b-1=b 1-b=b^2
可知a,b是方程1-x=x^2的两根
x^2+x-1=0
x=(-1±√5)/2<1与b>a>1≥0矛盾
若b>1≥a>0
则g(x)=|1-1/x|
在[a,1]上单调递减
在[1,b]上单调递增
最小值g(1) 最大值g(b)或g(a)
a=g(1)=0与a>0矛盾
综上所述不存在满足条件的a,b
(1)[0，＋∞）