△ABC三边长BC=17,CA=18,AB=19,过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/17 12:14:21

证明题

BD+CE+AF=27,AB+BC+CA=54
所以BF+AE+CD=27
设x=CD,y=AE,z=BF,则x+y+z=27
则BD=17-x,CE=18-y,AF=19-z
BD+BF=17-x+z

由于过D,E,F分别作对应边的垂线共点
所以BD^2+CE^2+AF^2=BF^2+AE^2+CD^2(可通过勾股定理证得)
代入得(17-x)^2+(18-y)^2+(19-z)^2=x^2+y^2+z^2
消去平方项，并移项，得
34x+36y+38z=17^2+18^2+19^2
2(z-x)=17^2+18^2+19^2-36(x+y+z)=17^2+18^2+19^2-36*27
=17^2+18^2+19^2-3*18^2
=(17^2-18^2)+(19^2-18^2)=2
所以z-x=1，所以17+z-x=18
所以BD+BF=18

BD+CE+AF=1/2(AB+BC+AC)=27 所以BD+BD=1/2(BC+BA)=18

三角形ABC的三边长a,b,c,满足a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,试判断三角形ABC的形状．已知a,b,c,是△ABC的三边,且满足a^2+b^2+c^2+ab-bc-ca=0,试判断△ABC的形状若三角形ABC三边a,b,c满足a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,试问三角形ABC的三边有何关系？已知ΔABC三边长分别为BC=a,CA=b,AC=c,又三顶点的坐标为A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3),求ΔABC内心的坐标已知△ABC的三边长都是整数，若AB=3，BC=7，则AC的长度是？若三角形abc的三边长为a,b,c,并符合条件a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca,试问这个三角形为何种三角形..? 三角形ABC的三边长分别为a,b,c，求证：a^2+b^2+c^2<2ab+2bc+2ca Rt△ABC ∠B=90 度,AB=3 BC=4 ,D,E,F分别是三边AB,BC,CA上的点则DE+EF+FD的最小值是? 在三角形ABC中，三边分别为a,b,c，若a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,则三角形ABC为（）若a,b,c为三角形ABC的三边,且a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca,如何证明三角形ABC是等边三角形.