若三角形abc的三边长为a,b,c,并符合条件a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca,试问这个三角形为何种三角形..?

等边三角形

a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca 等式两边同乘以2
得2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=0
（a-b）^2+（b-c）^2+（a-c）^2=0
a-b=0 b-c=0 a-c=0
所以a=b=c

A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA
2A^2+2B^2+C^2=2AB+2BC+2CA
2A^2+2B^2+C^2-2AB-2BC-2CA=0
(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2=0
(A-B)^2>=0,(B-C)^2>=0,(C-A)^2>=0
所以，A=B=C
此三角形为等边三角形

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
因为完全平方数大于或等于零，合为零，当且仅当：a=b=c时成立。
即为等边三角形。

(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2)/2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
a=b=c
等边三角形

等边三角形

正三角形