若a,b,c,为Rt三角形ABC三边的长,c为斜边长,斜边上的高为h.求证c+h>a+b.

直角三角形面积=ab/2=ch/2，即ab=ch
勾股定理：c^2=a^2+b^2
(c+h)^2
=c^2+2ch+h^2
=a^2+b^2+2ab+h^2
=(a+b)^2+h^2
显然h^2>0，就有(a+b)^2+h^2>(a+b)^2
即：(c+h)^2>(a+b)^2
两边开方即得：c+h>a+b。

h=ab/c
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2ab
(c+h)^2=c^2+2ch+h^2=c^2+2ab+h^2
所以c+h>a+b（它们都为正）

因为a,b,c,为Rt三角形
所以a:b:c=1:1:
a=1,b=1,c=根号2
因为h为斜边上的高
所以h=a=b=1
以为c为斜边长
所以c=根号2
所以根号2+1>1+1
所以c+h>a=b

由直角三角形面积可得
ab/2=ch/2→ab=ch
∵c^2=a^2+b^2
又∵(c+h)^2 =c^2+2ch+h^2 =a^2+b^2+2ab+h^2
=(a+b)^2+h^2
∵h^2>0，∴(a+b)^2+h^2>(a+b)^2
→(c+h)^2>(a+b)^2
两边开方
得：c+h>a+b

由相似容易得出c=kb a＝kh(两三角形相似比K)
而K大于1那么c-a=k(b-h)
所以c-a>b-h
得c+h>a+b