若三角形ABC三边a,b,c满足a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,试问三角形ABC的三边有何关系？

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
得到(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
所以a=b=c
等边三角形

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
得到(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
所以a=b=c
等边三角形

等式两边同乘以2得
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
把右边移过来就得(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
所以a=b=c

2(a² +b² +c² )=2(ab+bc+ca)
a² +b² +b² +c² +a² +c² -2ab-2bc-2ac=0
(a² -2ab+b² )+(b²-2bc+c² )+(a²-2ac+c² )=0
(a-b)² +(b-c)² +(a-c)² =0

所以
a-b=0,a=b
b-c=0,b=c
a-c=0,a=c
则a=b=c
所以三角形ABC为等边三角形

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
两边同时乘以2得：2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
所以得:(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ca)=0
所以：（a-b）^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
所以：a=b,b=c,c=a
即：a=b=c

A=B=C