一道高一数学奥赛题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 04:52:39
设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a属于S，b属于S，则ab属于S，且a+b属于S；②对任意一个集合中的有理数r，三个关系——r属于S，-r属于S，r=0中，有且只有一个成立。证明：S是由全体正有理数组成的集合。
高手帮帮忙，要有详细分析过程，多谢！

1，证明：设任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或,-r∈S之一成立。
再由①，若r∈S，则r²∈S；若-r∈S，则
r²=(-r)*(-r)∈S。
总之，r²∈S
取r=1，则1∈S。再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全体正整数都属于S。
设p、q∈S，由①pq∈S，又由前证知1/q²∈S
所以p/q=pq*1/q²∈S。
因此，S含有全体正有理数。
再由①知，0及全体负有理数不属于S。
即S是由全体正有理数组成的集合。