高中抛物线证明题

方法一：

证明:设点P,Q的坐标分别是P（x1,y1),Q(x2,y2)(y1>y2),则直线OP的方程为 

y=(y1/x1)x=[y1/(y1^2/2p)]x=2px/y1 

所以点M的纵坐标为y=2p(-p/2)/y1=-p^2/y1 

（分析法）欲证MQ平行于x轴（x轴为抛物线的对称轴），即证点M，Q的纵坐标相等，即证-p^2/y1=y2,即y1y2=-p^2...(1) 

下面对情形一证明（1）成立： 

情形一：当PQ不是抛物线的通径时，设直线PQ的方程为 y=k[x-(p/2)] ,将它与抛物线的方程联立后消去x得：y^2-(2p/k)y-p^2=0,所以y1y2=-p^2（韦达定理），即（1）成立，所以此时MQ平行于抛物线的对称轴； 

情形二：当PQ为抛物线的通径时，易得点P的坐标为P（p/2,p),所以直线PQ的方程为y=2x,所以点M的纵坐标为-p=y2(=-p),所以MQ平行于抛物线的对称轴. 

综上，PQ平行于抛物线的对称轴. 

方法二：

证明：设抛物线方程为x²=2py,(p为焦参数，p>0)

焦点F（0,p/2),准线y=-p/2. 抛物线顶点O(0,0).

设抛物线上点P的坐标为（x1,y1）=(x1,x1²/2p)

于是OP所在直线的斜率Kop=x1/2p.

OP所在直线的方程为：y=(x1/2p)x

令-p/2=(x1/2p)x,解之得M点的横坐标XM=-P²/X1

故M的坐标为（-P²/X1，-P/2）

PF所在直线的斜率KPF=（x1²/2p-p/2）/x1=(x1²-p²)/2px1

PF所在直线的方程为：y=[(x1²-p²)/2px1]x+p/2

令x²/2p=[(x1²-p