过正三棱锥P-ABC的侧棱PA作垂直于对棱BC的截面

1，由于球和正三棱锥都是对称图形，可以得到球心O和顶点P的连线垂直底面ABC于O'.
2,由于球O内切与P-ABC，那么球心到面PBC与面ABC的距离相等，即球心在角PEA的角平分线上。

设O'E=a,则PO'=a×tgθ,AE=3a,S△PAE=1.5a^2×tgθ。
S△PAE/S球=9√3：8π
S球=4πR^2
a^2×tgθ=R^2*3√3------------------------1

PO'×O'E=OO'×O'E+R×PE
a^2×tgθ=aR+R[√a^2+(atgθ)^2]

设tgθ=n
化简后两边平方得
a^2=R^2{1+[2(1+√n^2+1)/n]}--------------2

1、2式对比，可得关于tgθ的根式方程。

解之即得到结果，答案是√3。有一个4√3的增根。

你试着解一下吧，不会再说。

作BC中点Q.连结AQ和PQ.由于是正三棱锥AB=AC.PB=PC.所以AQ垂直BC.PQ垂直BC

正三棱锥？