高一数学（高分）

1.三角形ABC中，三个内角分别为A，B，C，向量a=(根5/2 cos(C/2) ,cos(A-B)/2 ),当tanA*tanB=1/9,求|a|

2.设a=(1+cos m,sin m) ,b=(1-cos n.sin n) ,c=（1，0），m属于（0，π），n属于(π，2π），a与c的夹角t1,b与c的夹角为t2,且t1-t2=π/6，求sin (m-n)/4

3.设OA=(2sinx, cos2x),OB=(-cosx, 1) ,其中x属于[0,π],若OA垂直于OB,则|AB|=____

4.四边形ABCD中，设其重心为G，是否有OG(向量）=1/4（OA+OB+OC+OD) （均为向量），有则求证
还有一题，如图，求证角BAF=角HBF （用平面几何的方法求解）

(1)a^2=(5/4)(cosC/2)^2+(cos(A-B)/2)^2
=(5/4)(cos(A+B)/2)^2+(cos(A-B)/2)^2
利用降幂公式
=(5/4)(cos(A+B)-1)/2)+(cos(A-B)-1)/2
=(9cosAcosB-sinAsinB)/8+(9/8)
tanA*tanB=1/9
得sinAsinB/cosAcosB=1/9
a^2=0+9/8
a=3/(2根号2)
(2)cost1=(1+cosm)/根号(2+2cosm)=根号((1+cosm)/2)=cos(m/2)
cost2=(1-cosn)/根号(2-2cosn)=根号((1-cosn)/2)=sin(n/2)=cos((n/2)-(π/2))
sin(t1-t2)=sin(π/6)=sin(m/2-n/2+π/2)
=-cos(m/2-n/2)=1/2
cos(m/2-n/2)=-1/2=1-2(sin(m/4-n/4))^2
sin(m/4-n/4)=-(根号3)/2

(3)OB*OA(都是向量)=-2sinxcosx+cos2x=cos2x-sin2x=0
cos2x=sin2x=正负(根号2/2)
向量BA=(2sinx+cosx,cos2x-1)
AB^2=(2sinx+cosx)^2+(cos2x-1)^2=(cos2x)^2-1.5cos2x+3.5
带入cos2x=正负(根号2/2)
(4)因为重心
有GA+GB+GC+GD=0(都为向量)
GA=0A-0G
GB=0B-0G
GC=0C-0G
GD=0D-0G
相加
即OA+OB+OC+0D=4OG
得证
(附加)设BH,CG交点为J
倒退法
要证角BAF=角HBF
即证ABF相似于BFJ
因为O是ABC重心
所以A0=2OF
J是OBC重心
OJ=2JF