初二数学！懂 的 来 ！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 05:17:37
已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，过点B作BD⊥AC于D。
求证：PE+PF＝BD

∵PF⊥AC，BD⊥AC
∴PF//BD
∴△CPF∽△CBD
∴CP：BC=PF：BD
同理
∵△ABC为等腰三角形
∴∠ABC=∠ACB
又PE⊥AB，BD⊥AC
∴△BEP∽△CBD
∴BP：BC=PE：BD
∵PB+PC=BC
∴CP：BC + BP：BC=PF：BD + PE：BD=1
即PE+PF＝BD

连AP 由三角形ABC面积等于三角形ABP与ACP的面积之和 有AB*PE+AC*PF=AC*BD 而AB=AC 约去即可

S△ABC=S△ABP+S△ACP=1/2AB.EP+1/2AC.PE=1/2AC.BD
所以AB.EP+AC.PE=AC.BD
又AB=AC
AB(PE+PF)=AB.ED
所以PE+PF＝BD

解：
做AC平行线过点P,交AB于S,交BD于Q
∵ AC//PS
∴ ∠C=∠SPB
∴ △BPS是等腰三角形
在△BEP和△BPQ中
{∠BEP=∠BQP=90°
{∠ABP=∠SPB
{BP=BP
∴ △BEP≌△QPB(AAS)
∴ BQ=PE
∵ PF//BD,DF//QP
∴ 四边形QPFD是矩形
∴ PF=QD
∵ BQ+QD,BQ=EP,PF=QD
∴ PE+PF＝BD