『急需』 一道数学题，

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 03:21:07
观察下列等式：

1×2×3×4＋1＝25＝5²

2×3×4×5＋1＝121＝11²

3×4×5×6＋1＝361＝19²

4×5×6×7＋1＝841＝29²

……

你能的出什么结论，并说明所得出的结论是正确的，

急需急需恩，好的话我会加分的恩，

(n-1)(n)(n+1)(n+2)+1 = [(n)(n+1)-1]^2

【结论】连续四个自然数的乘积加一，等于中间两个数之积减一的平方

表现为：
将n=1,2,3,4,5分别代入得

1×2×3×4＋1＝25＝5²

2×3×4×5＋1＝121＝11²

3×4×5×6＋1＝361＝19²

4×5×6×7＋1＝841＝29²

【证明】：
[(n)(n+1)-1]² - 1²
=[(n)(n+1)-1+1][(n)(n+1)-1-1]
=[(n)(n+1)][(n)(n+1)-2]
=(n)(n+1)[n²+n-2]
=(n)(n+1)(n+2)(n-1)

移项即得，(n-1)(n)(n+1)(n+2)+1 = [(n)(n+1)-1]^2

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2

第n-1项为：

(n-1)*n(n+1)*(n+2)+1
=(n^2+n)(n^2+n-2)+1
=(n^2+n)^2-2(n^2+n)+1
=(n^2+n-1)^2

第n项为[(n+1)^2+n+1-1]^2=(n^2+3n+1)^2

将n=1,2,3,4,5分别代入得

1×2×3×4＋1＝25＝5²

2×3×4×5＋1＝121＝11²

3×4×5×6＋1＝361＝19²

4×5×6×7＋1＝841＝29²

所以结论正确

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1=[(n+1)^2+n]^2=(n^2+3n+1)^2

证明：
n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1
=(n^2+3n)*(n^2+3n