我和单位没有签劳动合同,主动提出辞职,可否申请赔偿

没有签劳动合同单位本身就违法，劳动合同法第八十二条规定：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
因工作原因对员工造成身体危害的应该进行工伤鉴定或职业病鉴定，确定后方可按有关规定予以补偿或赔偿。
延长工作时间应该发给加班工资。
没有签订劳动合同只要付出了劳动即为事实上的劳动关系，不影响赔偿问题。

有事实劳动一说。

可以，不过你要提供你与该单位发生劳动关系的其他证明，比如工资条、打卡条等等。

的确，如果你的实际工作已经达到事实上的用工，就算有劳动合同这一说法。
不过，你主动申请辞职，还要单位赔偿，好像不大可能！
如果有劳动合同，你单方主动提出辞职，好像你得付违约金。如果单位提出要你辞职，你倒可以向单位要赔偿违约金。

是工作影响你的健康，你可以到劳保指定医院检查，有证明，可以提出健康赔偿！