如图,角ABD=角ACD=60度,角ADB=90度-1/2角BDC.求证三角形ABC为等腰三角形
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/24 11:52:55
一楼的应该把第一行的M换个字母,若改成N,以及倒数第三行及一下的M都相应换成N,证法也挺简单的。
二楼的四点共圆不大证得清楚,光由一对角相等条件还不够。
楼主若没学过相似可以用全等证明。(照我的辅助线作法与标注相同的字母)
辅助线:
过点D作FD垂直BD交BA的延长线于点F。
以AD为边在AD右侧作角EAD=角BAC交CD的延长线于点E
1.设角BCD=X,则角ADB=90-x/2,又由角ACD=60可得角CAD=30-x/2
2.由角BDF=90,角ADB=90-x/2,可得角ADF=x/2,再可得角BAD=30+x/2
3.由1,2得角BAC=x=角EAD
4.因为CDE为平角所以角ADE=90+x/2,连同3的结论可得角AED=90-x/2=角ADE
所以三角形ADE中,AD=AE
5.三角形ABD与三角形ACE中,
角BDA=角CEA=90-x/2
边AD=AE
角BAD=角CAE(由第二步辅助线所得)
两三角形全等,得出AB=AC
过点A做AM⊥BC
∠ABC=∠ACD,设AC与BD交与M,∠AMB=∠CMD,∠BAC=∠BDC,
△AMBer∽△DMC,AM:MD=BM:MC,AM:BM=MD:MC
∠AmD=∠BMC,△AMD∽△BMC,∠ADB=∠ACB,∠ADB=90-1/2∠BDC=90-1/2∠BAC,
∠ACB=90-1/2∠BDC=90-1/2∠BAC,在△AMC中,∠ACB=90-∠MAC
90-1/2∠BAC=90-∠MAC,∠BAC=2∠MAC,说明AM是角平分线而且是高
AB=AC
角ABD=角ACD
所以ABCD四点共圆
所以角ADB=角ACB
角BDC=角BAC
因为角ADB=90°-1/2角BDC
所以角ACB=90°-1/2角BAC
所以2*角ACB+角BAC=180°
又角ABC+角ACB+角BAC=180°