已知不论b取何实数，直线Y＝KX＋b与双曲线X＾2－2Y＾2＝1总有公共点，试求实数K的取值范围

y=kx+b ①
x^2-2y^2=1②
将①代入 ②得
X^2-2(kx+b) ^2=1
(1-2k^2)x^2-4kbx-2b^2-1=0
要证明直线y=kx+b与双曲线x^2-2y^2=1总有公共点
只要证明(1-2k^2)x^2-4kbx-2b^2-1=0有解即可
①当(1-2k^2)=0 即
(1-2k^2)x^2-4kbx-2b^2-1=0为一元一次方程
当k不为零的时候必有解
解(1-2k^2)=0
得k=√2/2 或k= -(√2/2 )k不为零

②当(1-2k^2)不等于零的时候
(1-2k^2)x^2-4kbx-2b^2-1=0为一元二次方程
要满足此一元二次方程有解 △>=0
(4kb) ^2+4(1-2k^2)(2b^2+1)>=0
b^2-k^2+1/2>=0
等价于k^2<=b^2+1/2
k^2一定会小于【b^2+1/2 】的最小值
因为b取任意值b^2+1/2的最小值为1/2
所以k^2<=1/2
所以
-(√2/2 ) <=k <=(√2/2 )
两种情况求并集
所以k的范围为-(√2/2 ) <=k <=(√2/2 )

在两条渐近线斜率之间