如何利用不等式的性质比较大小

（1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。

（2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。

二、例题分析

第一阶梯

例1：实数绝对值的涵义是什么？

探路：实数绝对值的定义是分类给出的。

解：正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
即：

评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。

例2：型如：|x|<a，|x|>a，（其中a>0）不等式的解法。

探路：利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。

解：当a>0时， |x|<a x2<a2 －a<x<a；其几何意义为

|x|>a x2>a2 x>a或x<－a；其几何意义为

评注：

解：型如|x|<a，（a>0）和|x|>a，（a>0）的不等式，可以利用平方法化为关于x的二 次不等式来解；也可以利用定义法来解，均可求得它们的解集。今后，要熟记|x|<a（a>0） 的解集为－a<x<a；|x|>a，（a>0）的解集为x>a或x<－a是十分重要的。

例3：由定理－“|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理：“|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|”

探路：利用“代换法”

证明：

由定理一可知，|a|－|－b|≤|a+(－b)|≤|a|+|－b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|

评注：关于和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商，有下面性质。

（1）|a·b|=|a|·|b|；