过定点（1.4）的直线在第一象限与坐标轴围成三角形面积最小，求直线方程方程

设直线是x/a+y/b=1
围成的面积在第一象限
所以和坐标轴交点为正
a>0,b>0
面积=ab/2

把定点代入
1/a+4/b=1
b+4a=ab

b+4a=(b+4a)*(1/a+4/b),因为1/a+4/b=1
=b/a+4+4+16a/b
=8+(b/a+16a/b)

因为a>0,b>0
则由均值不等式
b/a+16a/b>=2根号(b/a*16a/b)=8
当b/a=16a/b时取等号
16a^2=b^2
b=4a
代入b+4a=ab
8a=4a^2
a>0,a=2,b=4a=8
x/2+y/8=1
4x+y-8=0

由题意,直线斜率必定存在.
设斜率为k
所以直线方程为 y-4=k(x-1)
得直线与x轴交于(1-4/k,0)
与y轴交于(0,4-k)
所以,三角形面积S=(1-4/k)(4-k)/2=(4-k-16/k+4)/2=4+(-k-16/k)/2
因为三角形在第一象限.所以k<0
应用基本不等式,得((-k)+(-16/k))>=8,当k=-4时取到最大值.
此时三角形面积为8.
所以直线方程为 y-4=-4(x-1)
化为一般式,4x+y-8=0