数论（急）

x = 1时，

x^(1/x1) = 1，命题结论成立。

y = 1时，
y1/x1 = y/x = 1/x,
y1 = 1, x1 = x.

x^(1/x1) = x^(y1/x1) = x^(y/x) = y,命题结论成立。

当 x > 1，并且y > 1时，
若 x = y,则 y1/x1 = 1/1, x1 = 1.
x^(1/x1) = x, 命题结论成立。

以下设 1 < x < y.

e^[yln(x)] = x^y = y^x = e^[xln(y)],

yln(x) = xln(y),

ln(y)/y = ln(x)/x.

设h(t) = ln(t)/t, t > 1.

h'(t) = 1/t^2 - ln(t)/t^2 = [1 - ln(t)]/t^2

当 t >= 3时，h'(t) < 0, h(t)单调递减.

若要 ln(y)/y = ln(x)/x成立，
只能 x = 2, y >= 3.

但，2^3 = 8 < 9 = 3^2,
2^4 = 16 = 4^2,
2^5 = 32 > 25 = 5^2.

因此， 1 < x < y 时，
ln(y)/y = ln(x)/x 的唯一一组解为 x = 2, y = 4.
此时，y1/x1 = 4/2 = 2/1, x1 = 1. x^(1/x1) = x, 命题结论成立。

当 1 < y < x时，
ln(y)/y = ln(x)/x 的唯一一组解为 x = 4, y = 2.
此时，y1/x1 = 2/4 = 1/2, x1 = 2. x^(1/x1) = 4^(1/2) = 2, 命题结论成立。

综合知，
x = 1时