UC知道两圆重合面积问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/04 09:08:24
两圆的圆心距离为c (c<a+b)
求: 两圆重合部分的面积
更正: a,b分别为两圆的半径, 且b>=a.
补充: B圆在A圆的右边,c的取值范围为:b-a<=c<=a+b
*** 8565170 - 江湖新秀 五级 的答案可适用a<=c<=a+b的情况, 但c<a时就不适用, 能否补充一下? 谢谢.
根据海伦公式求出三角形的面积：
p=(a+b+c)/2
S=根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]
求出c边上的高h=2S/c
则公共弦长l=2h=4S/c
求出一个圆心角m=2 arcsin l/2a=2 arcsin 2S/ac
扇形面积-三角形面积，得出两圆重合部分的一部分
=m/2pi*pi*a^2-1/2*l*根号[a^2-l^2/4]
=ma^2/2-l[根号(a^2-l^2/4)]/2
=a^2arcsin 2S/ac-l[根号(a^2-4S^2/c^2)]/2
将上式中的a换成b，得出两圆重合部分的另一部分，然后两部分相加，即可得到两圆重合部分的面积：
两圆重合部分的面积=a^2arcsin 2S/ac-l[根号(a^2-4S^2/c^2)]/2+b^2arcsin 2S/bc-l[根号(b^2-4S^2/c^2)]/2
=a^2arcsin 2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]/ac-2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)][根号(a^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)/c^2)]/c+b^2arcsin 2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]/bc-2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)][根号(b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)/c^2)]/c
上式中：p=(a+b+c)/2，c>a，c>b。
c<a时，相似，只是B中是个优弧。用圆面积减去求出的即可。
两圆重合部分的面积=a^2arcsin 2S/ac-l[根号(a^2-4S^2/c^2)]/2+pi*b^2-b^2arcsin 2S/bc+l[根号(b^2-4S^2/c^2)]/2
=a^2arcsin 2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]/ac-2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)][根号(a^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)/c^2)]/c+pi*b^2-b^2arcsin 2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]/bc+2根