一道高二数学题，大家帮下忙

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 22:06:59
设双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)(0<a<b)的半焦距为c，直线L过(a,0)(0,b)两点，且原点到直线L的距离为（√3/4）*c，求双曲线的离心率

L是bx+ay-ab=0
所以原点到L距离的平方
=(0+0-ab)^2/(a^2+b^2)=3/16*c^2
16a^2b^2=3a^2c^2+2b^2c^2
b^2=c^2-a^2
所以16a^2c^2-16a^4=3a^2c^2+3c^4-3a^2c^2
16a^2c^2-16a^4=3c^4
16a^4-16a^2c^2+3c^4=0
(4a^2-3c^2)(4a^2-c^2)=0
c^2/a^2=4/3或c^2/a^2=4
因为b>a
所以a^2+b^2=c^2>a^2+a^2=2a^2
c^2/a^2>2
所以c^2/a^2=4
e=2