函数和数列问题

引：sina=cos(pi/2-a)=cos(a-pi/2)
注：用rt表示√,以pi代∏.
解：
(1)
2sin(x-pi/4)sin(x＋pi/4)+rt3sin2x
=2sin(x-pi/4)cos(x-pi/4)+rt3sin2x
=sin(2x-pi/2)+rt3sin2x
=cos2x+rt3sin2x
=2(sin30°cos2x+cos30°sin2x)
=2sin(2x+30°)
故当x=...时取最大值2;当x=...时取最小值-2,周期为2pi/2=pi.

(2)
An+Sn=nn+2n+1,求An
解法1:
令n=1，得到2A1=4,A1=2
A(n-1)+S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)+1
与原式相减，得2An-A(n-1)=2n-1+2=2n+1(*)
易见多项式f(n)=2n-1满足2f(n)-f(n-1)=2n+1（可用待定系数法求得）
故(*)式可变为：2An-A(n-1)=2f(n)-f(n-1)
即：2(An-f(n))=A(n-1)-f(n-1)
于是An-(2n-1)是首项为A1-1=1,公比为1/2的等比数列。
即An-(2n-1)=(1/2)^(n-1)
An=...

解法2：
An+Sn=nn+2n+1,求An
令n=1，得到2A1=4,A1=2=S1
原式变形为2Sn-S(n-1)=nn+2n+1(****)
构造多项式f(n)=ann+bn+c，使2f(n)-f(n-1)=nn+2n+1
容易求得f(n)=nn+2
（****）式变为：
2(Sn-f(n))=S(n-1)-f(n-1)
从而{Sn-f(n)}是首项为S1-f(1)=-1,公比为1/2的等比数列。
于是Sn=f(n)-(1/2)^(n-1)
An=Sn-S(n-1)=...

1.原式=cos(π/2)-cos2x+√3sin2