等边三角形ABC中,AB=a,O为中心,过O的直线交AB于M,交AC于N,求1/(OM^2)+1/(ON^2)的最大最小值

取O为原点。OA为y轴。AC方程3x+√3y＝1,AB方程-3x+√3y＝1.设MN方程y=kx.
算得M（1/（-3+√3k）,k／（-3+√3k））,
N（1/（3+√3k）,k／（3+√3k））,
（1／OM²）＋（1/ON²）＝6+12／（1+K²）.（|k|≤1/√3）
直接看出：k=0,（1／OM²）＋（1/ON²）＝18为最大值。
|k|＝1/√3时,（1／OM²）＋（1/ON²）＝15为最小值。

这不是苏大《教学与测试》必修五8.复习课第4题吗？
不过一楼那位没用三角函数的方法...
解：易得OM=√3/8*1/sin（α+π/6） *a
ON=√3/8*1/sin（α-π/6） *a
1/(OM^2)+1/(ON^2)=64/3*（sin（α+π/6）+sin（α-π/6）） *a^2=（64√3）/3sinα *a^2
因为60<=α<=120
所以Fmax=（64√3）/3*a^2
Fmin=32 /a^2
方法是这样的，不知道仓促中算得对不对，你再算算看...

一楼的好