一道关于极限和导数的数学分析题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 10:10:57
已知：f(x)满足对任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(x)在0点可导，f'(0)=a。
证明：对任意实数x，都有f(x)连续可导。

由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(x+y)-f(x)=f(y)，故
(f(x+y)-f(x))/y=f(y)/y，
由于f(x)在0点可导且f'(0)=a，故当趋于零时,f(y)/y=f(0+y)/y以f'(0)为极限,
于是当趋于零时,(f(x+y)-f(x))/y也以f'(0)为极限,即f(x)在任意x点上可导且对任意x有f'(x)=a.