在△abc中,三边长为a,b,c,面积为1/4,外接圆半径为1,求证:√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c

三角形面积=abc/4r r为外接圆半径
由r=1 面积为1/4可得 abc=1
1/a+1/b+1/c-(√a+√b+√c )

=(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c-[√a(abc)+√b(abc)+√c(abc) ]

=ab+bc+ca-a√bc-b√ca-c√ab

=[2(ab+bc+ca)-2(a√bc+b√ca+c√ab)]/2

=[(ab+bc-2b√ac)+(bc+ca-2c√ab)+(ca+ab-2a√bc)]/2

=[(√ab-√bc)^2+(√bc-√ca)^2+(√ca-√ab)^2]/2

a，b, c为互不相等的正数,所以上式大于零.即
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c

学过柯西不等式的话，更简单
原式化为ab+bc+ca>√aabc+√abbc+√abcc
由柯西不等式知
(ab+bc+ca）(ac+ab+bc)>(√aabc+√abbc+√abcc)^2
于是原题得证

1/a+1/b+1/c-(√a+√b+√c )

=(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c-[√a(abc)+√b(abc)+√c(abc) ]

=ab+bc+ca-a√bc-b√ca-c√ab

=[2(ab+bc+ca)-2(a√bc+b√ca+c√ab)]/2

=[(ab+bc-2b√ac)+(bc+ca-2c√ab)+(ca+ab-2a√bc)]/2

=[(√ab-√bc)^2+(√bc-√ca)^2+(√ca-√ab)^2]/2

a，b, c为互不相等的正数,所以上式大于零.即
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c