对于（x的立方+y的立方等于z的立方）这个方程没有实数解

显然有实数解

x=y=z=0

用反证法.假设原方程有正整数解,那么在全体正整数解中,必有一组解x0,y0,z0使z0取最小值.

首先,x0,y0,z0两两互素(显然)

所以必为一奇一偶.设y0为偶数.

(z0^2-y0^2,z0^2+y0^2)=(2z0^2,2y0^2)=1(辗转相除法)

所以(z0^2-y0^2)(z0^2+y0^2)=x0^4

因为两两互素,所以可设z0^2-y0^2=u^4,z0^2+y0^2=v^4

其中u,v为互素的奇数.所以y0^2=0.5(v^2-u^2)(v^2+u^2)

而(v^2-u^2,(v^2+u^2)/2)=1(辗转相除法)

同理可得v^2-u^2=a^2, (v^2+u^2)/2=b^2

其中a,b互素且a为偶数,b为奇数.

可推得0<b<v<z0^2

由勾股方程的通解知存在r,s,

u=r^2-s^2,a=2rs,v=r^2+s^2

验证可得r^4+s^4=b^2矛盾.

所以无正整数解.证毕.

不是没有实数解,而是没有非平凡整数解.