高中数学奥数题

设S=|a1,a2,...,an|是整数集,其中n>1。对于S的非空子集A,定义P(A)为A的一切整数的乘积,设m(S)表示P(A)的算术平均数,这里A遍历S的一切非子空集。
若m(S)=13,且有一定整数an+1使得m(SU|an+1|)=49,试确定a1,a2,...,an及an+1的值?

M(S)=[(a1+1)(a2+1)(a3+1)...(an+1)-1]/n
M(S)=13N/N M(SU)=49(N+1)/(N+1)
(49(N+1)+1)/(13N+1)=a(N+1)+2=k
换句话说右边是大于2的整数
n=（k-50）/(49-13k)
n是大于1的整数，稍微试一下就发现k在4到8之间

但是没有结果……
不知道为什么，可能我读题的问题……
你大概看下思路，可能有帮助。

设所有P(A)之和为Sn，
有：Sn = a1+...+an+a1a2+...+a1an+a2a3+...+a2an+...+a[n-1]an+...+a1a2...an
另：S[n+1] = a1+...an+a[n+1]+a1a2+...+a1an+a1a[n+1]+a2a3+...+a2an+a2a[n+1]+...+a1a2...an+a2a3...a[n+1]+a1a2...a[n+1]
可得：S[n+1]-Sn=a[n+1]+a1a[n+1]+...+ana[n+1]+...+a1a2...a[n+1]=a[n+1](1+Sn)
故：a[n+1]=(S[n+1]-Sn)/(1+Sn)………………………………(1)
由于S的所有子集个数为2^n，故不同的非空子集A的个数为2^n-1,
故Sn=13(2^n-1),S[n+1]=49(2^(n+1)-1)
代入(1)式可得：a[n+1]=(49(2^(n+1)-1)-13(2^n-1))/(1+13(2^n-1))
由于a[n+1]为整数且n>1，可得n=3,a[n+1]即a4=7
再由(1)式，令n=2：a3=(S3-S2)/(1+S2)=(91-S2)/(1+S2)
由于a3也是整数，先看正整数是否有解，
试验可得a3=1,S2=45，a3=3,S2=22，a3=45,S2=1，a3=22,S2=3四组解
又：1+S2=1+a1+a2+a1a2=(1+a1)(1+a2)
若S2=45，a1=22，a2=1
若S2=22，a1=22，a2=0(显然不可取)