另类高中函数问题

f(x)
=3^x + x/(x + 1)
=3^x+1-1/(x+1)
默认的定义域是x≠-1.
分情况:
情况Ⅰ:
当x<-1时,
其中
3^x>0,
x+1<0,
1/(x+1)<0
-1/(x+1)>0
所以
当x<-1时,f(x)>0.

情况Ⅱ:
当x>-1时,证明函数为单调递增的.这样只有一个x使得f(x)=0.
设-1<A<B则,
f(B)-f(A)=
3^B+1-1/(B+1)-(3^A+1-1/(A+1))
=(3^B-3^A)+(1/(A+1)-1/(B+1))
=(3^B-3^A)+(B-A)/(A+1)(B+1)

其中
3^B-3^A>0,
(B-A)/(A+1)(B+1)>0,
所以f(B)恒大于f(A),
即函数f(x)在x>-1范围内单调递增,
在x>-1范围内只存在唯一的x使得f(x)=0.

f'(x)=3^x*ln3+1/(x+1)^2>0
故f(x)单调递增,所以没有其他解
才看到原来不用导数啊~~
这样好了,f1(x)=3^x单调递增,
f2(x)=x/(1+x)也是单调递增(很容易看出,也可以证明)
故 f(x)=f1(x)+f2(x) 是单调递增, 所以没有其他解

如果没有学过微积分，用最常规的方法检验。可以用除法来验证它是增函数。

因为f（x）的一阶导数f'(x)=3^x*ln3+1/(x+1)^2>0 ，所以f（x）单调递增。
所以f（x）除了在（0，0.5）之间与x轴有交点外，就不再与x轴再有交点了。因此无其他的解。