数列 递推公式求通向公式

此类题目这样解：两边同时加x*a(n-1)
an+x*a(n-1)=(x+2)a(n-1)+3a(n-2)
令右边=（x+2）(a(n-1)+x*a(n-2))
比较系数：x(x+2)=3,得x1=1,x2=-3
于是有

（an+an-1)/(an-1+an-2)=3 ....（1）
由此容易得到：（an+an-1)=...(自己算)
（an-3an-1)/(an-1-3an-2)=-1 ...(2)
由此容易得到：（an-3an-1)=...(自己算)
解关于an，an-1的二元一次方程组可得答案

an + a(n-1) = 3a(n-1) + 3a(n-2) = 3[a(n-1)+a(n-2)]

[an + a(n-1)]/[a(n-1)+a(n-2)] = 3,

说明新数列：[an + a(n-1)]是公比为3的等比数列，首项为： a1＋a2＝5＋2＝7

an + a(n-1) ＝ 7×3^(n-2)， 【1】

又： an - 3a(n-1) = -a(n-1)+3a(n-2) = - [a(n-1)-3a(n-2)]

即an - 3a(n-1)也是公比为－1的等比数列，首项是： 2－3×5＝－13

an- 3a(n-1) ＝ －13*(-1)^(n-2) = -13*(-1)^n, 【2】

【1】×3 ＋【2】并整理后得到：

an ＝ [7*3^(n-1) - 13*(-1)^n]/4

an=2a(n-1)+3a(n-2)
两端同时 + a(n-1)
an + a(n-1) = 3[a(n-1) + a(n-2)]
因此 an + a(n-1) 是 首项为 a2 - a1, 公比为3 的等比数列
an + a(n-1) = (a2 + a1)*3^(n-2) = 7 * 3^(n-2)

因此
a(n-1) + a(n-2) = 7 * 3^(n-3)