高一三角比 在线 追20分

f(x)=(cosx)^2+(cos(x+a))^2+(cos(x+b))^2
证明 反证法,如果存在a,b使得f(x)不随x的变化而变化,分别设x=-a,x=-b,则得
f(-a)=(cosa)^2+(cos(a-b))^2+1
f(-b)=(cosb)^2+(cos(a-b))^2+1
上面两式相减由f(-a)=f(-b)得
(cosa)^2-(cosb)^2=0,cosa=cosb或cosa=-cosb
由0≤a<b≤π,cosa=cosb这是不可能的,于是有cosa=-cosb,b=180-a,
f(x)=(cosx)^2+(cos(x+a))^2+(cos(x+180-a))^2
=(cosx)^2+(cos(x+a))^2+(cos(x-a))^2
=(cosx)^2+1+(cos(2x+2a)+cos(2x-2a))/2
=(cosx)^2+1+cos(2x)*cos(2a)=(cos(2x)+1)/2+1+cos(2x)*cos(2a)
=(cos(2x)/2+cos(2x)*cos(2a)+3/2
=cos(2x)(1/2+cos(2a))+3/2
显然f(x)依赖于的x值,矛盾.