什么是函数极限

极限知识深入研究(2)

例2 用定义证明
规范证法 设 ,对于任意给定的ε>0，要使 ,只要 就可以了．因此，对于任意给定的ε>0，取 ,则当|x|>M时，
有时，我们还需要区分x趋于无穷大的符号．如果x从某一时刻起，往后总是取正值而且无限增大．则称x趋于正无穷大，记作x→+∞，此时定义中，|x|>M可改写为x>M，如果x从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称x趋于负无穷大，记作x→-∞，此时定义中的|x|>M可改写成x<-M．

函数极限可以用如下方法定义：
设f(x)在实数x0的一个去心邻域U(x0, δ0)上(就是区间(x0 - δ0, x0 + δ0)去掉x0点这个集合之上)有定义, 如果对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ, 和一个实数A, 使得当
|x - x0| < δ
时, 下式成立:
|f(x) - A| < ε
就说函数f(x)在x0点的极限是A, 记作
f(x) -> A
(x -> x0)

极限知识深入研究(2)

例2 用定义证明
规范证法 设 ,对于任意给定的ε>0，要使 ,只要 就可以了．因此，对于任意给定的ε>0，取 ,则当|x|>M时，
有时，我们还需要区分x趋于无穷大的符号．如果x从某一时刻起，往后总是取正值而且无限增大．则称x趋于正无穷大，记作x→+∞，此时定义中，|x|>M可改写为x>M，如果x从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称x趋于负无穷大，记作x→-∞，此时定义中的|x|>M可改写成x<-M．
例3

函数极限可以用如下方法定义：
设f(x)在实数x0的一个去心邻域U(x0, δ0)上(就是区间(x0 - δ0, x0 + δ0)去掉x0点这个集合之上)有定义, 如果对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ, 和一个实数A, 使得当
|x - x0| < δ
时, 下式成立:
|f(x) - A| < ε