设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2+[c+(1/c)]^2>=100/3
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/19 15:27:56
用柯西不等式或均值不等式证明
答:
解法一:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)^2
1/a+1/b+1/c≥9
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
≥(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2≥(1+9)^2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3
解法二:
由排序不等式知
3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
由均值不等式知
1=a+b+c≥3(abc)^(1/3),即1/abc≥[3/(a+b+c)]^3
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2
=(a^2+b^2+c^2)+(1/a^2+1/b^2+1/c^2)+6
≥(a+b+c)^2/3+3(1/abc)^(2/3)+6
≥1/3+27+6=100/3
解法三:
设y=(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2
y''=2+6/x^4>0,y是凸函数,
由琴森不等式
[f(a)+f(b)+f(c)]/3≥f[(a+b+c)/3]
代入即可证明不等式。
设a,b,c均为正数,且(1+a)(1+b)(1+c)=8,求证abc≤1
设a.b.c.均为正数,且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/c大于等于9
设a,b为正数,且a^b=b^a,b=9a
设a、b、c都是正数,且a/b+b/c+c/a=3,求证:a=b=c
设a,b,c均为正数,求证:a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) >=3/2
设a,b,c为正数,求证c/(a+b)+b/(c+a)+a/(b+c)>=3/2
数学 设a,b,c均为正数,且ab+bc+ca=1,则a+b+c的最小值为
如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170。那么abc的值是多少?
设a,b,c为不等于1的正数,且a^x=b^y=c^z,xy+yz+xz=0,求abc
设a,b,c均为正数,求证:1/a+1/b+1/c >=9