设a,b,c为正数,求证c/(a+b)+b/(c+a)+a/(b+c)>=3/2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/07 18:33:33

a/(b+c)=(a+b)/2(b+c)+(a+c)/2(b+c)-1/2
b/(a+c)=(a+b)/2(a+c)+(b+c)/2(a+c)-1/2
c/(a+b)=(c+a)/2(a+b)+(b+c)/2(a+b)-1/2
三个式子相加:

a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=[(a+b)/2(b+c)+(b+c)/2(a+b)]+[(a+c)/2(b+c)+(b+c)/2(a+c)]+[(a+b)/2(a+c)+(a+c)/2(a+b)]-3/2

>=2*1/2+2*1/2+2*1/2-3/2

=3/2

即：a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) >=3/2

或者：
设A≥B≥C(上式对称)
A+B≥A+C≥B+C
1/(B+C)≥1/(A+C)≥1/(A+B)
A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B) (同序和)
≥B/(B+C)+C/(C+A)+A/(A+B) (乱序和)
同理 A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B)≥C/(B+C)+A/(C+A)+B/(A+B)
两式相加 得:
A/(B+C)+B/(C+A)+C/(A+B)≥3/2

这可以用换元法。设A+B+C=D

则C/（A+B）=C/（D-C）=C/D-1
依次类推，再化简可证。