已知a,b是正数,a+b=1,求证3^a+3^b<4

3^a+3^b=3^a+3^(1-a)=3^a+3/3^a,设x=3^a,
则y=3^a+3^b=x+3/x,即
y=x+3/x,
x^2-yx+3=0,解关于x的2次方程得
x=(y-√(y^2-4*3))/2,
由a是正数,则
x=3^a>1,(y-√(y^2-4*3))/2>1
y-2>√(y^2-4*3),两边平方得
y^2-4y+4>y^2-12
解得4y<16
y<4,即
3^a+3^b<4.

∵3^a+3^b=3^(a+b)
∵a+b=1
∴3^a+3^b=3<4