抛物线y＝ax2＋bx＋c (a<0)交x轴于A（－1，0）B（3，0）交y轴于C，顶点为D，以BD为直径的⊙M恰好经过点C.

点A(-1,0)、B(3,0)的坐标分别代入抛物线方程y=ax²+bx+c,得
0=a-b+c,0=9a+3b+c,联立解得：b=-2a，c=-3a.于是抛物线方程为
y=ax²-2ax-3a，即y=a(x-3)(x+1)，亦即y=a[(x-1)²-4]，

（1）
令x=0,得y=-3a，所以C(0,-3a),
y=a[(x-1)²-4]当且仅当x=1取得极值，D(1,-4a).

（2）
设Q为BD中点，易得Q(2,-2a),而|QB|²=(3-2)²+(0+2a)²=4a²+1,
所以以Q为圆心，BD为直径的圆的方程为(x-2)²+(y+2a)²=4a²+1,
C(0,-3a)的坐标代入圆的方程,得a=±1，所以抛物线的解析式有两个：
y==±(x-3)(x+1)，亦即y=±[(x-1)²-4]，
一般式y=x²-2x-3，y=-x²+2x+3。是一对关于x轴对称的抛物线。

（3）
以BD为直径的圆M恰好过点C，ΔP(即C)BD是一以BD为斜边的直角三角形；
有没有以BD为直角边的直角三角形呢？

当a=1时，
直线BD的斜率为(0+4a)/(3-1)=2,垂直于BD的直线的斜率为-1/2,
过B垂直于BD的直线方程为：y-0=-1/2(x-3),即x+2y-3=0
和抛物线方程y=x²-2x-3联立，解得P11(3,0)、P12(-3/2,3/4)
过D垂直于BD的直线方程为：y+4=-1/2(x-1),即x+2y+7=0
和抛物线方程y=x²-2x-3联立，解得P13(1,-4)、P14(1/2,-15/4)

当a=-1时，因为y=x²-2x-3，y=-x²+2x+3是一对关于x轴对称的抛物线，所以
上述各点关于x轴的对称点作为P点，均可使ΔPBD成为直角三角形